KPSS'de problemler bölümünde en çok zorlanılan konulardan biri işçi ve havuz problemleridir. Aslında doğru mantığı kavrayıp birkaç temel formülü ezberlediğinde en kolay netler buradan gelir. Bu yazıda sana önce temel mantığı, sonra pratik çözüm yollarını KPSS tarzı sorularla anlatacağım. Eğer KPSS matematik problemler genel konu dağılımı hakkında bilgi almak istersen, ilgili yazıya göz atabilirsin.
İşçi Havuz Problemleri Nedir? Temel Mantık
İşçi ve havuz problemleri, birim zamanda yapılan iş miktarını hesaplamaya dayanır. Bir işçi 6 saatte bir işi bitiriyorsa, 1 saatte işin 1/6'sını yapar. Aynı şekilde bir musluk havuzu 4 saatte dolduruyorsa, 1 saatte havuzun 1/4'ünü doldurur. İşte tüm çözüm bu basit oranları toplayıp çıkarmaktan ibarettir.
İşçi problemlerinde odak noktası, belirli sayıda işçinin belirli bir işi ne kadar sürede bitireceğidir. Havuz problemlerinde ise muslukların bir havuzu doldurma ya da boşaltma süreleri hesaplanır. Her ikisi de ters orantı mantığını kullanır; işçi sayısı arttıkça işin bitme süresi azalır, musluk sayısı arttıkça dolma süresi kısalır.
Temel formülü akılda tut: Birim zamanda yapılan iş = 1 / İşin toplam süresi. Bunu işçiler için gün, musluklar için saat cinsinden uygularsın. Birden fazla işçi veya musluk olduğunda, her birinin birim zamanda yaptığı işi toplayarak net hızı bulursun. Toplam işi (genellikle 1 birim) bu hıza bölerek süreyi elde edersin.
İşçi Problemleri Formülleri ve Çözüm Adımları
İşçi problemlerini çözerken adım adım ilerlemek netleri garantiler. Önce temel formülü oturt, sonra farklı senaryolara uyarla.
Temel İşçi Problemi Formülü
Bir işçi bir işi A günde yapıyorsa, 1 günde işin 1/A'sını yapar. Birden fazla işçi birlikte çalıştığında, günlük iş miktarları toplanır. Formül şöyle:
1/toplam süre = 1/A + 1/B + ...
Örnek: Ali bir işi 6 günde, Mehmet aynı işi 3 günde bitiriyor. İkisi birlikte çalışırsa, 1 günde işin 1/6 + 1/3 = 1/2'sini yaparlar. O zaman işin tamamı 1 / (1/2) = 2 günde biter.
İşçi Sayısının Değişmesi Durumu
Bu tarz sorularda “toplam iş miktarı” sabittir. Aynı kapasitedeki işçiler için işçi sayısı ile bitirme süresi ters orantılıdır. Formül: İşçi sayısı × Gün sayısı = Sabit.
Örneğin, 4 işçi bir işi 10 günde bitiriyorsa, toplam iş = 4×10 = 40 birimdir. Aynı nitelikte 8 işçi bu işi 40/8 = 5 günde bitirir. Eğer işçilerin kapasiteleri farklıysa, her birinin birim zamanda yaptığı işi ayrı ayrı hesaplamalısın.
İşin Bitme Süresini Hesaplarken Dikkat Edilmesi Gerekenler
En sık karşılaşılan durum, işe sonradan işçi eklenmesi veya ayrılmasıdır. Bu sorularda parça parça hesap yapman gerekir. Önce var olan işçilerle belirli sürede ne kadar iş yapıldığını bul, sonra kalan işi yeni duruma göre hesapla.
Örnek: 5 işçi bir işe başlıyor ve 4 gün çalışıyor. 5. gün 2 işçi daha katılıyor. İşin tamamı 10 günde bitiyorsa, başlangıçta işin ne kadarı yapılmıştır? Adım adım: 5 işçi 4 günde 20 birim iş yapar (toplam işi 5×10=50 birim varsay). Kalan iş 30 birim, yeni işçi sayısı 7. Kalan süre 6 gün. 7×6=42 birim yapmaları gerekirken 30 birim yeterli olmadığı için baştan hesaplamak gerekebilir. Bu tür sorularda toplam iş miktarını doğru belirlemek çok önemli.
Havuz Problemleri Formülleri ve Taktikleri
Havuz problemleri, işçi problemlerinin sıvı versiyonudur. Muslukların her biri bir işçi gibi düşünülebilir; dolduranlar pozitif, boşaltanlar negatif iş yapar.
Musluk Problemlerinde Doldurma-Boşaltma Mantığı
Dolduran musluk: 1 saatte havuzun 1/A'sını doldurur (+). Boşaltan musluk: 1 saatte 1/B'sini boşaltır (-). Net hız = 1/A – 1/B (eğer doldurma hızlıysa). Havuzun dolma süresi = 1 / (1/A – 1/B).
Örnek: A musluğu boş bir havuzu 5 saatte dolduruyor, B musluğu ise dolu havuzu 10 saatte boşaltıyor. İkisi aynı anda açılırsa, 1 saatte net dolma miktarı 1/5 - 1/10 = 1/10 olur. O zaman havuz 10 saatte dolar. Eğer boşaltan daha hızlıysa havuz hiç dolmaz; bu sorularda “kaç saatte boşalır” diye sorulur.
Havuzun Bir Kısmının Dolu Olması
Bazı sorularda havuzun başlangıçta bir kısmı doludur. O zaman kalan kısmı doldurmak için süre hesaplarsın. Formül aynıdır; sadece yapılacak iş miktarı 1 yerine (1 – dolu kısım) olur.
Örnek: 1/4'ü dolu bir havuzu A musluğu tek başına 6 saatte dolduruyor. Kalan kısım 3/4, dolma hızı 1/6, süre = (3/4) / (1/6) = 18/4 = 4,5 saat.
İşçi ve Havuz Problemlerinde Sık Yapılan Hatalar
- Birimleri karıştırmak: Gün yerine saat kullanma gibi dönüşümlerde hata yapma. Her zaman aynı birimde çalış.
- Ters orantıyı doğru orantı sanmak: İşçi sayısı arttığında süre azalır; çoğu aday yanlışlıkla doğru orantı kurup işlemi ters çevirir.
- Boşaltan musluğu eklemeyi unutmak: Havuz problemlerinde boşaltan musluğun etkisi negatiftir, toplama değil çıkarma yapılır.
- EKOK yöntemini yanlış uygulamak: Toplam işi veya hacmi EKOK alırken sürelere göre değil, işçi sayısına göre almak gibi hatalar.
- İşin tamamlanma süresini hesaplarken parçalı işleri atlamak: İşçilerin işe farklı zamanlarda başlaması veya ayrılması durumunda yapılan iş miktarını doğru parçalara ayırmamak.
KPSS'de Çıkmış İşçi Havuz Problemleri ve Çözümleri
ÖSYM'nin sınavlarında işçi ve havuz problemleri genellikle orta düzey sorulardır. Son yıllarda özellikle havuz boşaltma ve işçi sayısının değiştiği sorular öne çıkıyor. İşte iki tipik soru:
Örnek 1: 2022 KPSS Lisans Matematik Sorusu
Soru: Eşit kapasiteli 6 işçi bir işi 15 günde bitirebilmektedir. İşe başladıktan 5 gün sonra 2 işçi ayrılıyor. Kalan işçiler işi kaç günde tamamlar?
Çözüm: Toplam iş miktarı = 6×15 = 90 birim. 5 günde yapılan iş = 6×5 = 30 birim. Kalan iş = 60 birim. Yeni işçi sayısı 4. Kalan süre = 60/4 = 15 gün. Cevap: 15 gün.
Örnek 2: 2020 KPSS Ön Lisans Sorusu
Soru: Boş bir havuzu A musluğu 8 saatte, B musluğu 12 saatte doldurmaktadır. Havuzun dibindeki C musluğu ise dolu havuzu 24 saatte boşaltmaktadır. Üç musluk aynı anda açılırsa, boş havuz kaç saatte dolar?
Çözüm: A'nın saatte doldurduğu kısım 1/8, B'nin 1/12, C'nin boşalttığı 1/24. Net saatlik dolma: 1/8 + 1/12 – 1/24 = 3/24 + 2/24 – 1/24 = 4/24 = 1/6. Havuz 6 saatte dolar.
İşçi Havuz Problemleri için Pratik Tüyolar ve Kısayollar
Bu taktiklerle çözüm süreni yarıya indirebilirsin:
- Toplam işi EKOK ile al: İşçi problemlerinde verilen sürelerin en küçük ortak katını toplam iş kabul edersen, günlük iş miktarları tam sayı çıkar. Örneğin işçiler 6 ve 9 günde bitiriyorsa, toplam işi 18 birim seçerek işlemleri basitleştirirsin.
- Havuzun hacmine değer ver: Muslukların sürelerinin EKOK'unu hacim olarak belirle. Mesela 4 ve 5 saat verilmişse, havuz 20 litre olsun. Hesaplar kesirlerden kurtulur.
- Oran kur: İşçi sayısı ve süre ters orantılıdır. “4 işçi 15 günde bitirirse, 6 işçi kaç günde?” sorusunda 4×15 = 6×x ⇒ x = 10 gün. Bu her zaman işe yarar.
- Kalan iş mantığı: Parçalı sorularda “önce şu kadar çalışıp sonra…” tarzı ifadelerde, yapılan işi bulup kalanı hesaplamak en güvenli yoldur.
- Negatif katkıyı unutma: Boşaltan musluk her zaman toplam dolum hızından çıkarılır. İşlemi yaparken işaretine dikkat et.
Konu Pekiştirme: Örnek Sorular ve Ayrıntılı Çözümler
Şimdi öğrendiklerini test etme zamanı. Aşağıdaki soruları önce kendin çözmeye çalış, sonra çözümlere bak. Düzenli pratik için KPSS çalışma programı oluşturmanı öneririm.
Soru 1: (İşçi sayısı değişimi)
Bir işi 8 işçi 20 günde yapabiliyor. 5 gün çalıştıktan sonra kaç işçi ayrılırsa kalan iş 15 günde biter?
Çözüm: Toplam iş = 8×20 = 160 birim. 5 günde yapılan iş = 8×5 = 40 birim. Kalan iş = 120 birim. Kalan işin 15 günde bitmesi için gereken işçi sayısı = 120/15 = 8. Demek ki mevcut 8 işçiden hiç ayrılan olmamalı. Cevap 0, yani kimse ayrılmazsa kalan iş 15 günde biter. Bu soru, aslında işçi sayısının korunması gerektiğini gösteren bir mantık sorusudur.
Soru 2: (Havuz doldurma-boşaltma)
Boş bir havuzu tek başına A musluğu 3 saatte, B musluğu 6 saatte dolduruyor. C musluğu ise dolu havuzu 9 saatte boşaltıyor. Üçü aynı anda açılırsa havuz kaç saatte dolar?
Çözüm: A'nın saatlik katkısı 1/3, B'nin 1/6, C'nin boşaltması 1/9. Net hız = 1/3 + 1/6 - 1/9 = 6/18 + 3/18 - 2/18 = 7/18. Havuz 18/7 saatte yani yaklaşık 2,57 saatte (2 saat 34 dakika) dolar.
Soru 3: (Farklı kapasite)
Ayşe bir işi 12 günde, Fatma ise aynı işi 18 günde bitiriyor. İkisi birlikte 4 gün çalıştıktan sonra Fatma işten ayrılıyor. Kalan işi Ayşe tek başına kaç günde bitirir?
Çözüm: Ayşe günde 1/12, Fatma 1/18 iş yapar. İkisi birlikte günde 1/12 + 1/18 = 5/36 iş yapar. 4 günde 4 × 5/36 = 20/36 = 5/9 iş yapılır. Kalan iş 4/9. Ayşe bu kısmı (4/9) / (1/12) = (4/9)×12 = 48/9 = 16/3 = 5 tam 1/3 günde bitirir. Yani yaklaşık 5,33 gün.
Soru 4: (Musluk ve havuz kısmı)
Bir havuzun 2/5'i doludur. Havuzu dolduran iki musluktan biri boş havuzu 10 saatte, diğeri 15 saatte doldurmaktadır. İkisi birlikte açılırsa, havuzun tamamen dolması kaç saat sürer?
Çözüm: Doldurulacak kısım 3/5. Muslukların saatte doldurma hızları: 1/10 ve 1/15. Birlikte 1/10 + 1/15 = 1/6. Zaman = (3/5) / (1/6) = 18/5 = 3,6 saat.